不变变分问题

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|Emmy Noether  著     曹则贤   译

(原创文章www.77y77.com)

本文选自《物理》2020年第5期 (本文来自www.77y77.com)


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译者的话

物理学史上有一些划时代的论文,学物理的人若是早点读到会大受启发,比如1824 年卡诺的(热力学事理),1834 年克拉贝隆的(卡诺轮回),1856 年克劳修斯的(熵概念),1861—1862 年麦克斯韦的(电磁学),1887 年玻尔兹曼的(统计力学),1900 年普朗克的(黑体辐射),1905 年爱因斯坦的(运动物体的电动力学),1928 年狄拉克的(相对论量子力学),1929 年外尔的(规范场论),等等。还有一类,是数学文章,然则能给物理带来划时代的影响。这样的文章,有克莱洛关于曲率的,黎曼关于几许底细的,列维-齐维塔关于联络的,等等。这个中,有一篇是来自一位女性科学家的,即艾米·诺特1918 年在菲利克斯·克莱因(Felix Klein,1849—1925)获得博士学位50 周年数念活动上宣读的一篇文章,Invariante Variationsprobleme(不变变分问题)。这篇文章绝对是数理史上划时代的一篇,包含诺特定理,即传说中的对称性与守恒律的对应,此一理论物理的基石。此文一出,理论物理便有了不合的味道与深度。爱因斯坦对此文的评价是,I'm impressed that such things can be understood in such a general way(这种事情还能以这种一般的体式懂得,这令我印象深刻)。


诺特(Emmy Noether,1882—1935),德国女数学家,近世代数的奠基人之一,有抽象代数之母的美誉。其父Max Noether 是埃尔朗恩大学的数学教授。艾米少年时并未对数学有光鲜的情趣,1900 年经由了英语和法语的国度考试,职业定位是到女子中学去做一名教师。1903 年,21 岁的艾米进入埃尔朗恩大学进修,1907 年即获得数学博士学位,导师为代数名家戈尔丹(Paul Gordan,1837—1912)。1909 年艾米蒙数学大神克莱因(Felix Klein,1849—1925)和希尔伯特(David Hilbert,1862—1943)理睬入哥廷恩大学,那时她已是differentialinvariant(微分不变量。希尔伯特研究过)领域的大人物了——此时离她进入大学学数学不过短短的6 年。1915 年6 月20 日在两位大神的鼎力鼓动下,艾米经由了Habilitation 【译者注:德国的学者升迁轨制。有博士学位的申请者凭以前2—3 年内自力获得的功能经由该项答辩后,其博士头衔可写为Habil. Dr.,可任私俸讲师,且可以守候教授位置,但必需是其他学校供给的教授位置——这有效地避免了内陆学术界黄鼠狼生老鼠的闹剧】,然则向普鲁士教育部申请的司法特许却未获核准,故此次Habilitation 无效。此后,艾米作为希尔伯特的助手在哥廷恩大学从事传授和研究活动。1919年,一战后的普鲁士帝国塌台,妇女地位改善,艾米才算经由了Habilitation,成了德国数学史上经由Habilitation 的第一位女性。艾米1922 年获得一个编别传授地位,但一贯没拿到正式教授位置。艾米1933 年移居美国,1935 年因手术引起并发症作古,享年仅仅53 岁。艾米把自己不算长的生平都交给了她热爱的数学事业,终身未婚未恋。


艾米直到1919 年一贯研究不变理论。艾米的导师戈尔丹曾被称为“Konig der Invarianten (不变之王)”,她在哥廷恩的前辈同事希尔伯特、平辈同伙外尔(HermannWeyl,1885—1955)都是不变理论的人人。不变量理论,愚认为,是学物理者应该尽早把握的一门学问。所谓相对论,本质是绝对论,其数学底细就是不变理论。基于贝尔特拉米(Eugenio Beltrami, 1835—1900)不变理论,会领略爱因斯坦广义相对论场方程左侧几许性质的部门——爱因斯坦说那是象牙做的——只有那种选择。笔者今特将艾米·诺特的这篇关于不变理论的划时代文章翻译出来,以供吾国未来之物理学家先睹为快。顺带说一句,读书先认字。欲学数学和物理者,英、德、法、俄语不妨若干把握一点,对数学和物理史感情趣者,可适当再把握一点希腊、拉丁和阿拉伯语,对数学和物理研究进展感情趣者,生怕再懂点日语也是需要的。不认字的学者,不是一般人能做得来的。


艾米的这篇论文正式揭橥在哥廷恩科学协会传递上,Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme(不变变分问题),Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,Mathematisch-Physikalische Klasse,235-257(1918);在统一期里,还有艾米的另一篇,Emmy Noether, Invarianten beliebiger Differentialausdrücke (随意微分表达的不变量),Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse,37-44(1918);以及Felix Klein 的两篇,拜别是Felix Klein,Über die Differentialgesetze für Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie,(针对爱因斯坦引力理论中的动量与能量守恒的微分轨则),Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaftenzu Göttingen,Mathematisch-Physikalische Klasse,171-189(1918);Felix Klein, Über die Integralform der Erhaltungsgesetze und die Theorie der räumlich-geschlossenen Welt(守恒律的积分形式和闭合世界理论), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch- Physikalische Klasse,394-423(1918). 这四篇是同样主题的论文,互相补充,译者认为我们学物理的若是想弄清楚对称与守恒率的问题——这对场论的进修可太首要了——这四篇论文应该一路参详【译者注:有机会我将把这四篇都译出来】。实际上,艾米在这篇文章中提到的克莱因的第二篇,指的应是上述守恒律的积分形式这一篇。克莱因这是看守恒律的微分形式、积分形式都讨论了,参考电磁学的积分形式、微分形式以及协变形式,这样周全看问题的体式在中学就该教给我们的年青年头人。


不得不说,艾米大姐的德语写作是太差了点——行文显得有点随意,前后不一,而且标点符号极具误导性。与此相对,爱因斯坦的德语就好懂得多。本文有英文译文(M. A. Tavel, Invariant variation problems,Transport theory and statistical physics 1(3), 183-207(1971)),但只是字面上随便凑合的(德译英几乎可以逐字对应)而不问数学内容与逻辑上对与纰谬,比如把Umformung (对方程的刷新)也当成了关键词die Transformation (变换) 给译成了transformation;直接将erschöpft 译成exhausted,而实际上作者是在强调群的完整性。限于译者的德语与数学水平,本译文错误难免,请读者同伙参照此外文本并基于自己数学的常识负责参详。


关于此篇译文,有几点需要事先澄清。

1) Erster Integral, first integral, 汉译经典力学一般将其译为第一积分。然则,first integral, second integral···是指第一次积分的事实、第二次积分的事实,若是译成第一、第二积分,会让人认为是自力对象的某种排序。反正笔者昔时就是这么曲解的。笔者此处将之译为一次积分,进展读者会自然想到还有二次积分、三次积分······。


2) 本译文中,das Argument,英文argument,我不知道怎么译,就保留原样了——不知道我国数学家是怎么处理的。对于函数y = y(x) ,这个argument x 汉译成函数的变量含恍惚糊也就算了。然则对于函数Φ(x -y, x2 + y2 -1) ,变量,variables,是x和y,然则Φ 的两个arguments拜别是x-y和x2 + y2 -1 。


3) 关于eigentlicher Energiesatz 和uneigentlicher Energiesatz。Eigen,德语,自身的意思,量子力学里有人人熟悉的Eigenwert, Eigenfunktion 的说法,英语照写为eigenvalue,eigenfunction,汉译本征值、本征函数。Eigentlich,英译proper,其实proper 就是拉丁语的eigen,自己的;improper,非自己的。在相对论中,proper time 被汉译为固有时,其实就是运动粒子自己经验的时间,没大误差。Proper (improper),汉英字典一般译为(不)适合的、(不)合适的,切实是不适合的、错误适的。本文中说起守恒律用eigentlicher,uneigentlicher 来润饰,就是强调其是属于所许可的这个群自己的,照样属于所许可的更大的群的。基于此,我将之译为“自己的”和“非自己的”。



年青年头的姑娘,你、你真年青年头。—— 《冰山上的来客》


摘要   本文商酌一类许可(李群意义上的)连续群的变分问题,由此得出的关于所属微分方程的结论会在第一节中作为定理给出一般性表述,在接下来的几节中予以证实。关于由变分问题激发的微分方程会有比关于随意的、许可群变换的微分方程准确得多的论说,后者构成了当前李理会的内容。本文会用到变分的形式角力同李群体式的连络。对于稀奇群与变分问题,这样的体式连络并不是什么新颖事物,这方面此前有Hamel和Herglotz关于稀奇有限群的工作,Lorentz 和他的学生(例如Fokker),以及Weyl 和Klein 关于稀奇无限群的工作2)。稀奇地,克莱因的第二篇论文同本文互相影响,关于这一点我提请关注克莱因文章的结论部门。


1 引言与定理表述


下面展现的所有函数应该都假设是解析的或许至少是连续且有限次可微的,且在所考查区间内是单值的。


所谓变换群,指的是这样的变换鸠合,对于每一个变换,鸠合内都有一个逆(变换),且随意两个变换的复合都属于这个鸠合。群Gρ是有限连续的,若是它包含的一般变换解析地依靠于ρ个实质性参数ε (这ρ个参数弗成以透露为更少参数的ρ个方程);响应地,群G∞ρ是无限连续的,若是它的一般变换解析地,或许至少是连续且有限次可微地,依靠于ρ个实质性函数p(x)及其导数。处于这两种景遇之间的,是有无限多个参数但不依靠随意函数的群。最后,既依靠随意函数又依靠于参数的群,称为同化群3)


设有自力变量x1,…,xn ,以及依靠于这些变量的函数u1(x),…,uμ(x) 。将x 和u 置于某个群的变换之下,则因为群变换的可逆性,变换获得的也必然包含n 个自力的量y1,…,yn ,而此外的则依靠于这些量,可透露为v1(y),…,vμ(y) 。在变换中,u 关于x 的导数如∂u/∂x, ∂2u/∂x2 ,… 也或许展现4)。若是关系P(x,u,∂u/∂x,∂2u/∂x2…,) = P(y,v,∂v/∂y,∂2v/∂y2,…)成立,则此函数称为群的不变量。稀奇地,若存在关系

则该积分是群的不变量5)。这里积分区域为随意实的x-区间和响应的y-区间6)


另一方面,对随意的、不一定是不变的积分I,可组织其第一阶变分δI ,并按照变分角力的规定经由分部积分改写。只要假设δu 及其所有展现的导数在界线上为零,此外不做假设,即得人们熟知的事实:

个中ψ 是拉格朗日表达式,即相关变分问题δI = 0之拉格朗日方程的左侧。对应这个积分关系的是一个无需积分透露的关于δu 及其导数的恒等式,是将界线项都写出来而获得的。如分部积分所表明的那样,这些界线项是关于散度,即表达式DivA =∂A1/∂x1+ …+∂An/∂xn,的积分,个中A 是δu 及其导数的线性函数。由此得

若f只包含u的一阶导数,在一重积分的景遇下恒等式(3)等同于Heun所谓的“拉格朗日中心方程”

在n-重积分景遇下,(3)式变为

而在一重积分和u 的k-阶导数的景遇下,(3)式变为

以及在n-重积分景遇下也有一个恒等式成立。A包含δu 直到(k-1)-阶的导数。拉格朗日表达ψi 可经由(4),(5),(6)式定义的事实,是因为右式中δu 的高阶导数可以经由合并消弭掉,而另一方面关系式(2)获得知足,经分部积分就显然能获得上述事实。


接下来讨论两个定理:


定理I. 若积分I 针对群Gρ 是不变的,则朗格朗日表达的ρ - 个线性自力组合是散度;反过来,由此可以得出I 针对群Gρ 不变的结论。此定理针对有无限多参数的极限景遇下也成立。


定理II. 若是积分I针对群G∞ρ 是不变的,个中随意函数最多展现到σ - 阶导数,则在诸拉格朗日表达式以及σ - 阶导数之间存在ρ - 个恒等式。逆定理也成立7)


对于同化群,两个定理里的论断都成立,既展现依靠关系,也展现不依靠于其的散度关系【译者注:原文这句话切实很恍惚。不是谁都邑用母语写论文的】。


从这些恒等式转到其所属的变分问题,令ψ = 0 8),则在一维景遇——此处散度成了全微分——定理I 断言存在ρ - 个一次积分,它们之间或许存在非线性依靠关系9)。在多维景遇,可以获得比来经常被称为“守恒律”的散度方程;定理II断言,拉格朗日表达中的ρ - 个是此外拉格朗日表达的事实。


威尔斯特拉斯的参数表达供给了定理II——不论其逆表述——的最简练例子。这里的积分因一阶齐次性,当把自变量x用随意的x的函数替代而u不变时( y = p(x) , vi(y) = ui(x) ),是不变的。随意的函数展现,但其导数不展现;与此对应的是有名拉格朗日表达式之间的线性关系:Σψdui/dx= 0 。再一个例子是物理学家的广义相对论,涉及的是所有的变换x : yi = pi(x) 的群,与此同时,u(记为gμν 和q)会被置于由此针对一个二次型线性微分形式之系数所诱导的变换——此变换含有随意函数p(x) 的一阶导数——之下。响应地有n 个关于诸拉格朗日表达及其一阶导数的依靠关系10)


将群稀奇化,使得变换中不含u(x) 的导数,此外变换后的自变量只依靠于x 而不依靠于u,则只要将参数置于合适的变换之下,(如第5 节所表明的那样)由I 的不变性可获得Σψi δui 的相对不变性11)以及在定理I 展现的散度。进一步地可知,前述的一次积分或许可这个群。对于定理II,也有经由随意函数攒到一路的依靠关系的左侧(表达式)之相对不变性,且由此还有一个函数,其散度恒为零且许可该群。该函数在物理学家的相对论中竖立起了依靠关系与能量定律之间的关系12)。最后,定理II 还给出了与本文有关的希尔伯特关于广义相对论的“自己的(eigentlicher)”能量守恒律不成立的论说之群论形式证。借助这些补充诠释,定理I 包含所有力学中有名的关于一次积分的定理,而定理II 可看作是关于广义相对论之最大限度的群论意义的推广。


2 散度关系与依靠关系


设G是有限的或许无限的连续群;让恒等变换总对应参数ε 以及随意函数p(x) 的0 值13)。一般形式的变换总可取如下形式:

这里的Δxi , Δui 意味着是ε ,以及p(x) 及其导数,的最低次幂项,其实应该假设是线性的。往后会表明,这不会对一般性带来限制。


现在,假设积分I 是针对群G的不变量,知足关系式(1)。稀奇地,I 也是针对群G所包含的无限小变换yi = xi + Δxi ;vi(y) = ui + Δui 是不变的,故此关系式(1)变为

个中第一个积分应从x-区间扩展到响应的x +Δx -区间上。这个积分,也可以借助对无限小Δx成立的形式刷新

将之转化成一个在x-区间上的积分。针对无限小变换Δu 引入变分

则由(7)式和(8)式导出

右侧恰是关于自变量和因变量同时变分的有名公式。因为积分(10)式对随意区间都知足,故积分核必为零,关于I 之不变性的李微分方程变为关系式

凭证(3)式将用拉格朗日表达式加以表达,则得

这个关系对每一个不变积分I 代表一个关于所有argument 的恒等式,这就是要找寻的关于I 的李微分方程的形式14)


现在首先假设G是有限连续群Gρ ;凭证Δu ,Δx 是参数ε1,…,ερ 线性函数的假设,则凭证(9)式这对及其导数也成立,由此A和B关于ε 也是线性的。我接着取

个中,…是x,u, ∂u/∂x ,…的函数;于是自(12)式获得欲找寻的散度关系

这将有ρ - 个拉格朗日表达式线性自力组合的散度;其线性自力的性质可如下得出:由,Δx = 0 ,凭证(9)式,也就有Δu = 0 , Δx = 0 ,也就有无限小变换之间的依靠性关系。这样的(依靠关系)不过凭证前提可没有参数值能知足,因为否则自无限小变换经由积分再发生的群Gρ 依靠于少于ρ - 个实质性参数。此外的或许性, ,Div( fΔx) = 0 ,也清扫了。这些结论在无限多参数的极限景遇也是成立的。


现在首先假设G是无限连续群G∞ρ ;则及其导数,还有B,关于随意函数p(x) 及其导数是线性的15);代入 的值,且不依靠于式(12),有

现在,仿从分部积分获得恒等式的公式,

【译者注:即关于散度的余式】

将p 的导数用p 自身和散度(其关于p 及其导数是线性的)来替代,则获得

【译者注:这个δ 上面是否有一杠呢?Noether 的两种版起原文都没有,但英译者给加上了,应该有。Noether 原文下面两式中乞降号的指标也没有了!(-1)幂指数的位置也错了】连络(12)式,得

现在我来组织关于(15)式的n-重积分,扩展到任何区间;这样选择p(x) ,其及其在(B -Γ ) 中展现的导数在界线上都为零。因为这关于散度的积分约化为界线积分,(15)式左侧针对随意的、但在界线上其连同充足多的导数为零的函数p(x) 做响应的积分也为零。凭证针对随意p(x)积分都为零的有名结论,可得ρ - 个关系

这就是就I 针对群G∞ρ 不变性问题所要找寻的诸拉格朗日表达式及其导数之间的依靠关系。线性无关性如上所示,因为逆命题从新导回(12)式,又因为可从无限小变换重又回来到有限群景遇,关于这一点在第4 节会具体注释。据此,在群为G∞ρ的景遇,在无限小变换中总有ρ - 个随意变换。从(15)和(16)式可得Div(B -Γ ) = 0 。


相对于同化群,令Δx 和Δu 是关于参数ε 和函数p(x)线性的,因为既要令ε 为零,又要令p(x)为零,则既有(13)式那样的散度关系,也有(16)式那样的依靠关系。


3 有限群景遇的逆命题


为了阐述逆命题,先把前述思虑倒过来梳理一遍。(13)式乘上ε 然后加上(12)式,行使(3)式,获得关系式。令Δx = 1/f (A -B) ,由此获得(11)式,然后积分获得(7)式ΔI = 0 ,即针对由Δx , Δu ——个中Δu 借助(9)式由Δx 和所决意, Δx 和Δu 关于参数是线性的——所确定之变换的I 的不变性。ΔI = 0 以一种熟知的体式得自I 针对如下有限变换的不变性,该有限变换来自积分联立系统:


这些有限变换包含ρ - 个参数a1…aρ ,即tε1…tερ的组合。假设有且只有ρ - 个线性自力散度关系(13)式,则进一步可得,那些有限变换,只要其不包含导数∂u/∂x ,老是构成群。在相反的景遇至少有一个经由李括号获得的无限小变换不是其余ρ - 个的线性组合,因为I 或许可这样的变换,则会有多于 ρ - 个的线性自力散度关系。或许,若这些无限小变换取 , Div( fΔx) = 0 的稀奇形式,但Δx 与Δu 会包含导数,这与假设前提相矛盾。Δx 与Δu 包含导数时是否会发生这种景遇,这个今朝还不晴明,但前面获得的Δx 还得加上使得Div( fΔx) = 0 的函数Δx ,以便重获群的性质。不过,由此添加的参数按照商定不计入。逆命题得证。


由此逆命题可见,事实上Δx 与Δu 应假设关于参数是线性的。若Δu 与Δx 是关于ε 高阶项的形式,则因为对ε 之幂的线性自力关系会获得完全对应(13)式的关系,只是数目多一些。由其凭证逆命题可得针对某个群的I 的不变性,该群的无限小变换关于参数是线性的。若该群准确地包含ρ - 个参数,则在正本经由ε 的高次幂项得以贯穿的散度关系之间存在线性相关性。


值得留意的是,若Δx 与Δu 也包含u 的导数,有限变换或许依靠于u的无限多导数;在这种景遇下,因为(17)式积分在确定时导向,事实一般来说每一步都邑带来u的导数数目的增加。如下即为一例:

因为散度的拉格朗日表达式恒为零,最后逆定理断言如下事实:若I许可群Gρ ,则每一个同I只差一个界线积分,即关于一个散度的积分,的积分或许可拥有同样的、其无限小变换一般会包含u的导数的群Gρ 。对应上面的例子,许可无限小变换Δu = xε , Δx = 0 ;而对应f 的无限小变换里展现了u的导数。


回到变分问题,即令ψi = 0 16),则(13)式变为方程DivB(1) = 0 ,…, DivB(ρ) = 0 ,这些方程经常被称为守恒律。在一维景遇,可得B(1) =const.,…,B(ρ) =const. ,依据(6)式,只要Δu 与Δx 不含有高于f 中展现的k-阶导数,则B最多包含u 的(2k -1)阶导数。因为ψ 中一般地展现2k 阶导数,所以存在ρ - 个一次积分17)。前述的f 再次表明,在这些(一次积分)之间存在非线性依靠关系。对应线性不相关的Δu =ε1 与Δx =ε2 是线性不相关关系,与此同时在一次积分u' =const .,u'2 =const . 之间存在非线性依靠关系。此处处理的是Δu 与Δx 不包含u 的导数的根本景遇18)


4 无限群景遇的逆命题


首先已表明,关于Δx 与Δu 的线性假设不构成限制,这是未提逆命题就从如下的事实,即群G∞ρ 形式上只依靠于ρ - 个随意函数,得出的结论。在非线脾性形,变换的复合过程中最低阶项会相加,随意函数的数目会增多。事实上,假设

以及响应地有v = B(x,u,∂u/∂x,…; p) , 则经由与z = A(y,v,∂v/∂y,…; q) 的复合,对于最低阶项,获得

这里任一个与a,b 不合的系数若不为零,则会展现一项,这就不克写成某单个函数的微分商或许微分商的幂积;随意函数的数目增加了,这与假设相触犯。若所有与a,b 不合的系数为零,则(一如群G∞1 的景遇)各按指数ν1…νρ 的值第二项会是第一项的微分商,事实上会展现线性关系;或许这里随意函数的数目也增加。因为p(x) 的线性,无限小变换知足一个线性偏微分方程组;且因为群的性质是知足了的,其凭证李的定义构成了一个“无限小变换的无限群”(参见李“底细”一文第10节)。


逆定理可以有限群相同的体式获得。(16)式那样的依靠关系成立,经由与p(λ)(x) 乘积而后相加,行使(14)式的调整,导向了。如在第3 节那样,这又能导向Δx 与Δu 切实立以及I针对无限小变换的不变性,那些变换切实线性地依靠于ρ - 个函数及其到σ - 阶的导数。这些无限小变换——若不包含导数∂u/∂x ——必然构成一个群的结论,可如第3 节中那样获得,否则经由更多复合会展现更多的随意函数,而凭证假设只应该有ρ - 个依靠关系(16)式展现;这些无限小变换构成一个“无限小变换的无限群”。这样的群可由某个李的“有限变换的无限群”意义下定义的最一般的无限小变换构成(参见李“底细”一定亲理VII,第391 页)。每一个有限变换都邑自无限小变换经由对如下的联立系统dx/dt= Δxi ,dui/dt=Δui (对于t=0, xi = y , ui = vi )积分发生出来(参见李“底细”一文第7 节)19)。此过程或许需要假设随意函数p(x) 依靠于t。群G切实依靠于ρ - 个任何函数。若稀奇地假设p(x) 不依靠于t。则这个依靠可解析地经由随意函数q(x) = t·p(x) 示意20)。若导数∂u/∂x 展现,在得出同样结论之前或许需要添加无限小变换, Div( fΔx) = 0 。


接着李的例子(参见李“底细”一文第7 节)不妨说起一个一般景遇,可以一贯进展到浮现表达,其同时表明,随意函数的导出展现到σ -阶。我指的是这样的无限小变换的鸠合,对应所有x-变换以及由此诱导的u 变换的群。所谓诱导的u 变换, Δu ,是以u,只依靠于Δx 中展现的随意函数。此外还假设,导数∂u/∂x,…在Δu 中不展现。这样,

因为无限小变换Δx = p(x) 发生每一个x = y + g(y) ,个中g(y) 是随意函数,这样的变换,可以特意这样放置p(x) 对t 的依靠,其能发生单成员【译者注:依靠于单个参数的?】群

其在t=0 时变为单元单子元而在t=1 时过渡到所找寻的x = y + g(y) 。微分(18)式,得

个中p(x,t) 自g(y) 由(18)式倒推出来。反过来,借助辅助前提t=0 时xi = yi ——借此可以确立积分——由(19)式可获得(18)式。借助(18)式,在Δu中x 可由“积分常数”y 和t 替代, g(y) 准确地只展现到σ - 阶导数,此过程中需将里的∂y/∂x用∂x/∂y表达,一般地∂σp/∂xσ 用其在∂g/∂y,…,∂x/∂y,… ∂σx/∂yσ 中的值来庖代【译者注:不领略这个durch seinen Wert in 中的Wert,值,是哪来的】。为了确定u,还获得方程组

个中只有t 和u 是变量,而g(y),… 属于系数局限,这样积分得

其是准确地依靠于随意函数直到其σ - 阶导数的变换。凭证(18)式,恒等式存在个中g(y) = 0 的景遇;群的性质源于所用轨范供给每一个变换x = y + g(y) ,其能确定u 的诱导变换,群G(的元素)得以无缺。


由逆定理捎带着还给出,假设随意函数只依靠于x 而不依靠于u, ∂u/∂x,…并不构成限制。实际上在后一种景遇,在改写的(14)式,以及(15)式,中除了p(λ) 以外还展现 。假设p(λ)逐次地是u, ∂u/∂x,… 的0,1,…次幂,系数是x 的随意函数,则又展现依靠关系(16),只是数目更多。按照上面的逆定理,这些依靠关系经由同只依靠于x 的函数的复合又回到此前的景遇。同样可以表明,同化群对应依靠关系和与其不相关的散度关系的同时展现21)


5 关系之零丁组件的不变性


将群R 限制在最简练的、常处理的景遇,即在变换中不许可u 的导数展现,变换的自力变量只依靠于x 而不依靠于u,这样可以获得公式之单个构件的不变性。首先是凭证熟知的结论获得的∫…∫(Σψiδui)dx ,还有Σψiδui 的相对不变性22),这里的δ 可以懂得为任何变分。一方面有

另一方面临于在界线为零的δu , δ(∂u/∂x),…,因为δu, δ(∂u/∂x),…的线性齐次变换,也对应在界线上为零的δv, δ(∂v/∂y),…

因为在界线上为零的δu , δ(∂u/∂x),…,有

在第三个积分中把y, v, δv 用x, u, δu 表达出来,令其与第一个积分相等, 获得关系式∫…∫(Σχi(u,…)δui)dx = 0 对于在界线上为零但没有此外要求的δu 成立,由此获得有名的对随意δu积分核为零的事实。关于δu 的恒等关系为, 这些表清楚Σψi(u,…)δui的相对不变性和 ∫(Σψi(u,…)δui)dx的不变性23)


为了将此应用到导出的散度关系和依靠性关系,首先要证实,由Δu , Δx 导出的事实上知足针对变分δu 的变换规定,只要参数以及里的随意函数是这样确立的,如同它们对应相同的关于y, v 的无限小变换的群那样。用ℑq 透露将x, u 变换到y, v 的变换, ℑp 是用x, u 透露的无限小变换, 则用y, v 透露的相同无限小变换是ℑr = ℑqpq-1,此处参数和随意函数r 由p 和q 所决意。用公式表达,为

由此要获得ℑr = ℑqpq-1,响应的是η = y + Δy(r) ,v* = v + Δv(r) ,个中借助ℑq 的逆将x 作为y 的函数且只关注无限小项,则获得恒等式

将ξ = x + Δx 用ξ -Δξ 替代, ξ 也回到x, Δx = 0 ;则凭证表达式(20)的第一式η 回到y = η -Δη ;经由此一替代Δu(p) 换成了 ,则Δv(r) 换成了 , 由表达式(20) 的第二式获得,所以只要假设只有依靠于参数和随意函数r,变分的变换公式实际上也知足24)


稀奇地,凭证(12)式,可得的相对不变性,因为关于y, u 的散度关系也知足,即DivB 的相对不变性。进一步地,凭证(14)式和(13)式, DivΓ 的相对不变性,以及同p(λ) 写在一路的依靠关系之左侧的不变性,那边老是变换了的公式里随意函数p(x) (以及参数)是用r【译者注:是用下标r 标识的响应的量】庖代的。由此还获得Div(B -Γ ) 的相对不变性。这个不恒为零的方程组(B -Γ ) ,其散度恒为零。


从DivB 的相对不变性,在一维和有限群的景遇还可以获得一次积分的不变性。对应无限小变换的参数变换,凭证(20)式,是线性齐次的;因为变换的可逆性, ε 关于变换后的参数ε* 也是线性齐次的。若是令ψ = 0 ,这个可逆性总成立,因为(20) 式中不展现u 的导数。令等式DivB(x,u,…ε) =dy/dx∙Div(y,v,…ε*) 中ε* 的系数相等,可见d/dy B(λ)(y,v,…) 关于d/dx B(λ)(x,u,…) 也是线性齐次的,进而由d/dx B(λ)(x,u,…) = 0 或许B(λ)(x,u) = const .可得d/dy B(λ)(y,v,…) = 0 ,或许B(λ)(y,v,…) = const .


对应群Gρ 的ρ - 个一次积分许可该群,是以可简化进一步的积分。最简练的例子是,f 不依靠于x 或许某个u, 这对应无限小变换拜别为Δx =ε , Δu = 0 ,或许Δx = 0 , Δu = ε 。则拜别有或许ε ,因为B可由f 和经由微分加上适当的组合获得,是以也拜别不依靠于x 或许u,故许可响应的群25)


6 一个希尔伯特的论断


基于前述讨论,最后我将以推广的群论的表述,给出一个希尔伯特关于广义相对论中“自己的”能量守恒不成立(原因)之间关系之论断(见Gött. Nachr. 1917 上克莱因的第一篇文章,回覆之第一段)的证实。


设积分I 许可一个群G∞ρ ,而Gσ 是某一指定随意函数而发生的有限群,即群G∞ρ 的子群。无限群G∞ρ 对应依靠关系(16)式,而有限群Gσ 对应散度关系(13)式;反过来,任何散度关系的存在可得出I 针对某有限群的不变性,若是响应的来自群Gσ的线性组合,则该群必需与Gσ同。针对群Gσ 的不变性不克导致任何不合于(13)式的散度关系。因为自(16)式的成立可得出I 针对群G∞ρ 采用随意p(x)获得的无限小变换Δx , Δu 的不变性,由此,稀奇地,有针对稀奇群Gσ 之无限小变换的不变性,进而有针对群Gσ 的不变性。散度关系必然是(16)式的事实,后者也可以写成,个中χ(λ) 是拉格朗日表达式及其导数的线性组合。因为ψ 在(13)式和(16)式都是以线性的体式展现,则散度关系稀奇地应是依靠关系(16)式的线性组合,故有, B(λ) 自身由χ ,即拉格朗日表达式及其导数一路,以及散度恒为零的函数—— 相同第2 节结尾处展现的B -Γ ,Div(B -Γ ) = 0 ,且散度同时具有不变性的特征——线性地组合而成。散度关系,据其B(λ) 以所阐述的体式由拉格朗日表达式及其导数构成,我称之为“非自己的”,此外的称为“自己的”。


若反过来散度关系是(16)式中依靠关系的线性组合,就是“非自己的”,是以针对群Gσ 的不变性可从针对G∞ρ 的不变性获得,群Gσ 是群G∞ρ的子群。针对一个有限群Gσ 的散度关系是“非自己的”,当且仅当群Gσ 是I 针对其是不变量的谁人群G∞ρ 的子群。


经由群的稀奇化,这里可得出希尔伯特的原始论断。将“ 位移群” 懂得为有限群,yi = xi + εi , vi(y) = ui(x) , 即Δxi = εi , Δui = 0 , ,针对位移群的不变性早已断言,在I = ∫⋯∫f (x,u, ∂u/∂x,⋯)dx 中的f 不显含x。相关的n 个散度关系为, (n = 1,2,⋯n) ,被当成是能量关系,因为这个变分问题的守恒律DivB(λ) = 0 对应能量定律,而B(λ) 对应能量分量。下列表述成立:若I 许可位移群,则能量关系是“非自己的”,当且仅当I 针对一个无限群是不变的,位移群是该群的子群26)


这样的无限群的一个例子是所有x 变换以及诱导的u(x) 变换的群,个中只有随意函数p(x) 的导数展现。位移群经由稀奇化过程p(i)(x) = εi 获得,然则是否用经由改变I 以一个界线积分而发生的群那样的体式就给定了最一般性的谁人群,仍是悬而未决的。前述那种诱导变换会如斯发生, 即将u 置于一个“ 全微分形式”, 即的形式,除了dx还包括高阶导数,的系数变换之下;稀奇异别化的诱导变换,个中p(x) 只以一阶导数的形式展现,可经由常微分形式的系数变换获得。人们一般只考虑这种景遇。


其余这一类的群,因为对数函数项的展现弗成能是系数变换,是如下这样的,

此处依靠关系(16)式应为

“非自己的”能量关系为

则群的最简练的不变积分为

最一般的I 可经由积分李微分方程(11) 式予以确定,为此要带入Δx 和的值,只要假设f 只依靠于u 的一阶导数,则李微分变成

(关于p(x) , p'(x) , p''(x) 恒成立)。这个方程组对两个方程u(x) 有包含导数的解,即

个中Φ 是给定两个argument的随意函数。


希尔伯特是这样表述他的论断的,“自己的”能量定律的失效是广义相对论的特征。为了让这个论断逐字成立,“广义相对论”的说法应该拓展开来懂得,要拓展到基于前述依靠于n-个随意函数的群上28)


介绍阅读

Neuenschwander D E. Emmy Noether's Wonderful Theorem. The Johns Hopkins University Press,2011



译后记

群、变换、对称性、不变性、守恒律,这些我们在进补缀论物理时经常会碰着的概念,其所具有的雄厚内容和深刻关系,远不是那些二、三手教科书随便几句就能说清楚的。笔者昔时上大学、读研、当青椒的时候,根本上就是凭着几句简练的描述就误认为自己知道了些的。译完了艾米的这一篇,浏览了相同主题的此外三篇,笔者的感伤,千言万语汇成一句话:“我们都太年青年头了。—— 《冰山上的来客》”。


若是上天再给我一次在德国居留的机会,我必然会去寻访那些名人的萍踪,去吸取一点他们给人类社会留下的精神与常识之精粹。


—— 2020.02.29动笔,2020.03.10完稿于疫情笼盖的北京




1) 利克斯·克莱因获得博士学位50 周年庆典上的致辞。由菲利克斯·克莱因在1918 年7 月26 日的大会上提交。稿件的最终版本于9 月末送达。

2) Hamel: Math. Ann. Bd.59,以及Zeitschrift f. Math. u. Phys. Bd.50. Herglotz: Ann. D. Phys. (4) Bd. 36, bes. ‡9,S.511.Fokker,Verslag d. Amsterdamer Akad. 27./1.1917. 更多文献请对照1918 年6 月19 日Göttinger Nachrichten 上克莱因的第二篇文章。在刚出来的Kneser (Math. Zeitschrift Bd. 2) 的工作中,有效相同体式获得不变量的讨论。


3) Sophus Lie 在“无限连续变换群底细”一文(Ber. d. K. Sächs.Ges.der Wissensch. 1891. 后背我引用时会表为“底细”)中定义无限连续群为其变换可经由一个偏微分方程的一般解给出的变换群,只要这些解不单仅依靠于有限个参数。由此可获得上面所给的与有限群不合的一类;而依靠于无限多个参数的那种极限景遇不是非要用到微分方程系统。


4) 乞降时若是可以的话,我会省略指标,比如将简写为之类的【译者注:这可得留意了】。


5) dx, dy拜别是dx1…dxn 和dy1…dyn 的缩写。


6) 所有在变换中展现的Argumente 如x, u, ε, p(x) 都算作是实的,而系数应该是复数。因为事实是关于x, u, 参数和随意函数的恒等式,只要展现的函数是解析的,这些事实对复数也成立。一大部门事实不是竖立在积分之上的,这里限制在实数景遇在论证时不是需要的。与此相反,第2 节结尾和第5 节起头部门的论证是必需依靠积分形式的。


7) 关于某些平常的例外景遇,请对照第2 节的第2条诠释。


8) 某种意义上更一般地可以令ψi = Ti 。对照第3 节的第一条诠释。


9) 试对照第3节的结论。


10) 可对照克莱因的表述。


11) 意思是Σψiδui 经变换后多了个因子。


12) 对照克莱因(在同期杂志里)的第二篇文章。


13) 对照Lie“底细”一文的第331 页。对于随意函数,参数的特定值aσ 用固定函数pσ ,∂pσ /∂x ,…庖代;响应地,值aσ + ε 用pσ + p(x) ,∂(pσ + p)/∂x ,…庖代。


14) (12)式在平常景遇变成0=0——这只展现在Δx ,Δu 也依靠于u 的导数的景遇——此时Div( f ∙Δx) = 0 , ;这个无限小变换老是要从群中剔除的;只有剩下的参数或许随意函数的数目在定理的表述上才算数。至于剩下的变换是否还能构成群,这说不好。


15) 逆命题表明,假设p不依靠u, ∂u/∂x…不会带来限制。


16) ψi = 0 或许一般地ψi = Ti ,Ti 是新引入的方程,在物理学里称为场方程。在ψi = Ti 的景遇,(13)式变为方程DivB(λ) =ΣTi δui(λ),这在物理中依然被称为守恒律。


17) 只要f关于k-阶导数是非线性的【译者注:没懂】。


18) 否则还有对随意λ 的u'λ = const .,对应u''∙(u')λ-1 = 1/λ d/dx(u')λ


19) 稀奇地可获得结论,谁人由群G∞ρ 之无限小变换Δx ,Δu 所发生的群G可以回到G∞ρ 。因为G∞ρ 不包含不合于Δx ,Δu 而依靠于随意函数的无限小变换,也弗成能包含不依靠(函数)的、但依靠参数的无限小变换,否则那就是同化群了。凭证前述内容,无限小变换决意的是有限群。


20) 是否老是展现这种景遇的问题,已由李另行表述了(参见李“底细”一文第7、13 节)。


21) 如同在第3节,此处由逆定理也可获得,除了I,任何同I只差一个散度积分的积分I*同样许可一个无限群,其具有沟通的 ,但一般地Δx ,Δu 包含u的导数。爱因斯坦在广义相对论中为了获得一个能量守恒的简练表述而引入过一个这样的积分I*。我给出这个I*许可的无限小变换,为此我使用克莱因在其第二篇文中采用的记号。积分I =∫Kdω = ∫RdS 许可所有ω 的变换,以及关于gμν 的诱导变换,的群,响应的依靠关系(克莱因文中的(30)式): 。则有I = ∫R*dS ,R* = R +Div ,由此有R*μν = Rμν 拜别是拉格朗日表达式。所给的依靠关系也是关于R*μν 的。乘上pτ 后相加,则经由乘积微分的改写,反过来得 。对照李的微分方程δR* +Div(R*Δω) = 0 ,获得I*许可的无限小变换。这些无限小变换依靠于gμν 的一阶和二阶微分,包含任何p 函数至一阶导数。


22) 这意思是Σψiδui 经变换后获得一个因子,这在代数不变理论中一贯被称为相对不变性。


23) 若y 也依靠于u,这些结论不成立,因为δf (y,v,∂v/∂y,⋯) 也包含Σ∂f/∂y δy 。散度项的刷新并不克导向拉格朗日表达式。许可包含u 的导数也一样。因为这样δv 作为δu ,δ ∂u/∂x,⋯的线性组合首先经由散度形式的改写导向恒等式,事实没有拉格朗日表达式展现。否从∫(Σψi(u,⋯)δui)dx 的不变性也能导出展现散度关系的问题,凭证逆定理,同如下表述具有沟通的意义,即针对一个不是导向同样的Δu ,Δx 然则导向同样的的群,由其是否能得出I 的不变性。在一重积分和f 只含一阶导数的稀奇景遇下,对于有限群可由拉格朗日表达式的不变性获得一次积分的存在性(可参阅比如Engel, Gött.Nachr. 1916, p. 270)。


24) 再次表明,必需假设y 不依靠于u,结论才成立。可以举克莱因给的δgμν 和δqρ 的例子,只要p 置于矢量变换之下,这些就知足变分的变换。


25) 在已经从 ∫(Σψiδui)dx 的不变性就引出一次积分存在的景遇,这并不许可整个的群Gρ 。例如,∫(u''δu)dx 许可无限小变换Δx = ε2 ,Δu = ε1 + xε3 ,而一次积分u -u'x = const . 对应Δx = 0 ,Δu = xε3 ,而另两个无限小变换是不许可的,因为它显含u和x。关于含有导数的f的无限小变换也对应这个一次积分。可见,∫(Σψiδui)dx的不变性老是比I 的不变性意味着少一些内容。关于这一点请留意此前讨论中提出的问题。


26) 经典力学以及旧相对论(那边Σdx2 变换到自身)的能量定律是“自己的”,因为这里没有无限群展现。


27) 有限的景遇可凭证第4 节结尾部门的体式由这些无限小变换往回角力而得。


28) 此处再次证实了克莱因的一个说法的正确性,即在物理学中四处都是的“相对性”应该用“相对某个群的不变性”来替代(Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe, Jhrber. d. d. Math. Vereinig. Bd. 19, S.287, 1910;也揭橥在Phys. Zeitschrift上)。








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